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 [【技术文档】]对海盗分金块的疑问 |
本帖改编自《科学美国人》杂志中Ian Stewart的《凶猛海盗的逻辑》 海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性 命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只 眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地 下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过 大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不 驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长 的唯一特权，是有自己的一套餐具--可是在他不用时，其他海盗是 可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。 现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题 他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出 分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个 方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出 方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那 个海盗提出方案，依此类推。 我们先要对海盗们作一些假设。 1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也 就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。 另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私 底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。 2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。 3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。 4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。 5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而 下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币， 他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二 鸟在林，不如一鸟在手。 6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自 己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。 现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？ 要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在 最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可 以得到最后第二步应该作怎样的决定，等等等等。要是直接就从开始 入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路：'要是我作这 样的决定，下面一个海盗会怎么做？' 以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢 到海里去喂鱼了）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶猛。P2的最佳方 案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足 够50%了。 往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道--P3知道他知道 --如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一 枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一点点甜头，P1就会同意他 的方案（当然，如果不给P1一点甜头，反正什么也得不到，P1宁可投 票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到， P3得99枚。 P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他 投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也 是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在 P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。 依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什 么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金币。 下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）： P1 P2 0 100 N Y P1 P2 P3 1 0 99 Y N Y P1 P2 P3 P4 0 1 0 99 N Y N Y P1 P2 P3 P4 P5 1 0 1 0 98 Y N Y N Y …… P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 96 N Y N Y N Y N Y N Y ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 现在我们将海盗分金问题推广： 1)改变一下规则，投票中方案必须得到超过50%的票数（只得到50%票 数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海盗 分100枚金币的问题？ 2)不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？ 3)如果每个海盗都有1枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案 中，如果他被丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币 堆中，这时候又怎样？ 通过对规则的细小改变，海盗分金问题可以有许多变化，但是最有趣 的大概是1)和2)（规则仍为50%票数即可）的情况，本帖只对这两种情 况进行讨论。 首先考虑1)。现在只有P1和P2的情形变得对P2其糟无比：1票是不够的， 可是就算他把100枚金币都给P1，P1也照样会把他丢到海里去。可是P2 很关键，因为如果P3进行分配方案的话，即使他一枚金币也不给P2， P2也会同意，这样一来P3就有P2这张铁票！P3的最佳方案就是：独吞 100枚金币。 P4要3张票，而P3是一定反对他的，而如果不给P2一点甜头，P2也会反 对，因为P2可以在P3的方案中得救，目前为什么不把P4丢到海里呢？ 所以要分别给P1和P2一枚金币，这样P4就有包括他自己1票的3票。P4 的方案为：P1，P2每人1枚金币，他自己98枚。 P5的情况要复杂点，他也要3票。P4是会反对他的，所以不用给，给 P3一枚金币就能使他支持自己的方案，因为在接下来的P4方案中他什 么也得不到。问题是P1和P2：只要其中有一个支持就可以了。可是只 给1枚金币是不行的，P4方案中他们一定有1枚金币可得，所以只要在 他们中随便选一个，给2枚金币，另一个就对不起了，不给。这样P5 的方案是：自己97枚，P3得1枚，P1或P2得2枚。 P6的方案建立在P5的上面，只要给每个P5方案中不得益的海盗1枚金币。 要注意的是，P1和P2都应该看作在P5方案中不得益的：他们可能得2枚， 可是也可能1枚不得，所以只要P6给他们1枚金币，根据'二鸟在林， 不如一鸟在手'的原则，就可以让他们支持P6的方案。所以P6的方案 是唯一的：P1，P2，P4每人1枚金币，P6自己拿97枚。 这样继续下去，P9的方案是：P3，P5，P7每人1枚金币，然后在P1， P2，P4，P6中任选一人给2枚金币，P9自己得95枚。最后，P10的方案 是唯一的：P1，P2，P4，P6，P8每人1枚金币，P10自己得95枚。 2)是最有趣的（提醒：我们回到50%票即可的规则）。原题解中的推理 过程直到200个海盗都是成立的：P200给每个偶数号的海盗1枚金币， 包括他自己，其他海盗什么也得不到。从P201开始，继续推理就变得 有点困难了：P201为了不被丢到海里去，必须什么也不留给自己，而 给从P1到P199中所有奇数号海盗每人1枚金币，从而争取到100票，加 上他自己1票，逃过一劫。P202也什么都得不到，他必须用这100枚金 币买通100个从P201的方案中什么也得不到的海盗，要注意到现在这个 方案不是唯一的：P201的方案中得不到金币的海盗是所有奇数号的海 盗，有101个（包括P201），所以有101种方案。 P203必须得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金币，所以只能 买到100票，所以可怜的家伙就被丢到海里喂鱼了。但是，P203是个很 重要的角色，因为P204知道如果自己的方案不被通过，P203也一样会 完蛋，所以他有P203的一张铁票。所以P204可以大出一口气：他自己 一票，加上P203一票，然后加上用100枚金币买的确100票，他就得救 了！100个有幸得到1枚金币的海盗，可以是P1到P202中任何100个：因 为其中的偶数号的从P202的方案中什么也得不到，如果P204给他们中 某个海盗1枚金币，这个海盗一定会赞同这个方案；而编号为奇数的海 盗呢，只是有可能从P202的方案中得益罢了（可能性为100/101），所 以根据'二鸟在林，不如一鸟在手'的原则，如果能得到1枚金币，他 也会赞同这个方案。 接下去P205是不能把希望放在P203和P204这两张票上的，因为就算他 被丢到海里去，P203和P204还可以通过P204的方案机会活下来。P206 虽然可以靠P205的铁票，加上自己1票和100枚金币搞到的100票，只有 102票，所以他也被丢到海里喂鱼。P207好不了多少，他需要104票， 而他自己以及P205和P206的铁票加上100枚金币搞到的100票只有103票 --只好下海。 P208运气比较好，他同样也要104票，可是P205，P206，P207都会投票 赞成他的方案！加上他自己的1票和买来的100票，他终于逃脱了做鱼 食的命运。 这样我们就有了一种可以一直推下去的新逻辑。海盗可以什么也不留 给自己，买上100票，然后依靠一部分一定会被丢下海的海盗的铁票， 从而让自己的方案通过。有这样运气的海盗分别是P201，P202，P204， P208，P216，P232，P264，P328和P456……我们看到这样的号码是200 加上一个2的次幂。 哪些海盗是受益者呢，显然铁票是不用（不能）给金币的。所以只有 上一个幸运号码及他以前的那些海盗才有可能得到1枚金币。于是我们 得到500海盗分100枚金币的结论是：前44个最凶猛的海盗被丢进海里， 然后P456给P1到P328中的100个海盗每人1枚金币。 就这样，最凶猛的海盗被丢进海里，而比较凶猛的什么也得不到，而 只有最温柔的那些海盗，才有可能得到1枚金币。正如《马太福音》所 说：'温柔的人有福了，因为他们必承受地土！' 【 在 beareye 的大作中提到: 】 : : 刚刚又看到了这个问题，有个疑问，我觉得这个问题不太严密。 : 简单起见设只有3个海盗A,B,C分100个金块，如果A提出按照100，0，0分配应该 是可?. : 因为如果海盗B不同意，那么海盗A被杀掉，但是B同样也是一块都拿不到，而且 还有?. : 的危险。 : 同样是1块金块都拿不到，一种情况没有危险，一种情况有被杀掉的危险，如果 是你?. : 择哪种？
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